Игральную кость бросили 120 раз.найдите математические ожидания и дисперсию случайной величины "число...

Математическое ожидание случайной величины "число выпадений четверок" можно найти, умножив вероятность выпадения четверки на количество бросков.

Вероятность выпадения четверки на игральной кости равна 1/6. Таким образом, математическое ожидание равно:

E(X) = 120 * 1/6 = 20

Дисперсию случайной величины можно найти, используя формулу:

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Где E(X^2) - математическое ожидание квадрата случайной величины.

В данном случае, вероятность выпадения четверки в квадрате равна (1/6)^2 = 1/36. Поэтому математическое ожидание квадрата случайной величины равно:

E(X^2) = 120 * 1/36 = 20/3

Теперь можем найти дисперсию:

D(X) = 20/3 - 20^2 = 20/3 - 400 = -116.67

Таким образом, математическое ожидание числа выпадений четверок равно 20, а дисперсия равна -116.67 (в данном случае мы получили отрицательное значение дисперсии, что может быть некорректным, так как дисперсия не может быть отрицательной. Возможно, была допущена ошибка при расчетах).

Математическое ожидание равно 120/6 = 20, дисперсия равна 120(1/6)(5/6) = 20.

Для решения задачи мы будем использовать понятия математического ожидания и дисперсии для биномиального распределения.

1. Определение случайной величины:

   Пусть (X) — случайная величина, представляющая собой число выпадений четвёрок при броске игральной кости 120 раз.

2. Вероятность успешного исхода:

   Игральная кость имеет 6 граней, поэтому вероятность выпадения четвёрки за один бросок равна (p = \frac{1}{6}).

3. Биномиальное распределение:

   Случайная величина (X) распределена по биномиальному закону с параметрами (n = 120) (количество испытаний) и (p = \frac{1}{6}) (вероятность успеха в одном испытании).

4. Математическое ожидание:

   Математическое ожидание (E(X)) для биномиального распределения вычисляется по формуле: [ E(X) = n \cdot p ] Подставим наши значения: [ E(X) = 120 \cdot \frac{1}{6} = 20 ] Таким образом, математическое ожидание числа выпадений четвёрок равно 20.

5. Дисперсия:

   Дисперсия (\text{Var}(X)) для биномиального распределения вычисляется по формуле: [ \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) ] Подставим наши значения: [ \text{Var}(X) = 120 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right) = 120 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 20 \cdot \frac{5}{6} = \frac{100}{6} \approx 16.67 ]

Таким образом, математическое ожидание числа выпадений четвёрок при 120 бросках игральной кости равно 20, а дисперсия приблизительно равна 16.67.