Шесть студентов берут экзаменационные билеты, пронумерован-ные числами от 1 до 30. Сколько имеется возможностей?

Когда шесть студентов берут экзаменационные билеты, пронумерованные числами от 1 до 30, мы рассматриваем ситуацию с выбором билетов без замены, поскольку каждый билет может быть взят только один раз. Здесь важно учесть, что порядок, в котором студенты берут билеты, может иметь значение, если мы рассматриваем различные последовательности выбора.

1. Выбор без учета порядка: Если нас интересует только набор билетов, которые получат студенты, и порядок их получения не важен, то мы используем комбинации. Мы хотим выбрать 6 билетов из 30, и это можно сделать по формуле комбинаций:

   [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

   где ( n = 30 ) — общее количество билетов, и ( k = 6 ) — количество билетов, которые нужно выбрать.

   [ C(30, 6) = \frac{30!}{6!(30-6)!} = \frac{30!}{6! \times 24!} ]

   Вычислив, получаем:

   [ C(30, 6) = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 593775 ]

   Таким образом, без учета порядка, существует 593775 различных наборов билетов, которые могут быть выбраны студентами.

2. Выбор с учетом порядка: Если порядок, в котором студенты берут билеты, важен, то мы используем перестановки. Здесь мы выбираем 6 билетов из 30 и учитываем различные последовательности выбора:

   [ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} ]

   где ( n = 30 ), ( k = 6 ).

   [ P(30, 6) = \frac{30!}{(30-6)!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{1} = 427518000 ]

   Таким образом, с учетом порядка, существует 427518000 различных способов, как студенты могут выбрать и взять билеты.

В зависимости от того, важен ли порядок выбора билетов, ответ может быть либо 593775 (без учета порядка), либо 427518000 (с учетом порядка).

Для каждого студента есть 30 вариантов выбора билета. Так как каждый студент выбирает билет независимо от остальных, общее количество возможностей равно произведению всех вариантов выбора для каждого студента.

Таким образом, общее количество возможностей равно 30^6, что составляет 729 000 возможностей.

Всего возможно 30^6 = 729 000 возможностей.