Среди изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 80% высшего сорта. Найти вероятность...

а) Для нахождения вероятности того, что хотя бы четыре изделия высшего сорта из пяти, мы можем сложить вероятность того, что все пять изделий будут высшего сорта, вероятность того, что ровно четыре изделия будут высшего сорта, и вероятность того, что ровно одно изделие будет не высшего сорта.

Вероятность того, что все пять изделий будут высшего сорта: P(все 5 высшего сорта) = (0.8)^5 = 0.32768

Вероятность того, что ровно четыре изделия будут высшего сорта: P(ровно 4 высшего сорта) = C(5,4) (0.8)^4 (0.2)^1 = 0.4096

Вероятность того, что ровно одно изделие не высшего сорта: P(ровно 1 не высшего сорта) = C(5,1) (0.8)^4 (0.2)^1 = 0.2048

Итак, вероятность того, что хотя бы четыре из пяти изделий будут высшего сорта: P(хотя бы 4 высшего сорта) = P(все 5 высшего сорта) + P(ровно 4 высшего сорта) + P(ровно 1 не высшего сорта) P(хотя бы 4 высшего сорта) = 0.32768 + 0.4096 + 0.2048 = 0.94208

б) Вероятность того, что четыре из пяти изделий будут высшего сорта: P(ровно 4 высшего сорта) = C(5,4) (0.8)^4 (0.2)^1 = 0.4096

Таким образом, вероятность того, что четыре из пяти изделий будут высшего сорта равна 0.4096.

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение вероятностей. Пусть вероятность того, что изделие высшего сорта, равна ( p = 0.8 ). Количество изделий ( n = 5 ).

Биномиальное распределение описывает число успехов в серии из независимых испытаний, где каждое испытание имеет два возможных исхода: успех (изделие высшего сорта) или неудача (изделие не высшего сорта).

Формула биномиального распределения:

[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} ]

где:

• ( C(n, k) ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ), которое вычисляется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} );
• ( p ) — вероятность успеха (в данном случае, 0.8);
• ( k ) — количество успехов (изделий высшего сорта);
• ( n ) — общее количество испытаний (изделий).

а) Вероятность того, что хотя бы четыре изделия высшего сорта:

Это событие включает случаи, когда четыре или пять изделий высшего сорта. Поэтому нам нужно найти сумму вероятностей для ( k = 4 ) и ( k = 5 ).

1. Для ( k = 4 ):

[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot 0.8^4 \cdot 0.2^1 ]

[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 ]

[ P(X = 4) = 5 \cdot 0.8^4 \cdot 0.2 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096 ]

1. Для ( k = 5 ):

[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot 0.8^5 \cdot 0.2^0 ]

[ C(5, 5) = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1 ]

[ P(X = 5) = 1 \cdot 0.8^5 = 0.32768 ]

Теперь суммируем вероятности:

[ P(\text{хотя бы 4}) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728 ]

б) Вероятность того, что ровно четыре изделия высшего сорта:

Мы уже вычислили эту вероятность:

[ P(X = 4) = 0.4096 ]

Таким образом, вероятность того, что среди пяти изделий хотя бы четыре высшего сорта, составляет 0.73728, а ровно четыре изделия высшего сорта — 0.4096.

а) Вероятность того, что хотя бы четыре из пяти изделий высшего сорта составляет 0.32768 (32.768%). б) Вероятность того, что четыре из пяти изделий высшего сорта составляет 0.4096 (40.96%).