Tg(x+2)=2помогите решить

Рассмотрим задачу ( \tan(x + 2) = 2 ). Здесь ( \tan ) — это тангенс, а ( x + 2 ) — аргумент функции. Разберём решение этого уравнения шаг за шагом.

1. Основное свойство функции тангенса

Функция тангенса периодическая, её период равен ( \pi ), то есть: [ \tan(\theta) = \tan(\theta + n\pi), \quad n \in \mathbb{Z}. ] Это значит, что тангенс принимает одно и то же значение при добавлении или вычитании любого целого числа, умноженного на ( \pi ). Следовательно, уравнение ( \tan(x + 2) = 2 ) имеет бесконечно много решений, которые отличаются друг от друга на ( \pi ).

2. Основная задача — найти общее решение

Для решения уравнения ( \tan(x + 2) = 2 ) нужно:

• Найти главное решение (одно из решений уравнения в пределах периода ( \pi )),
• Записать общее решение с учётом периодичности функции тангенса.

3. Найдём главное решение

Чтобы найти значение ( x + 2 ), при котором ( \tan(x + 2) = 2 ), используем арктангенс (( \arctan )): [ x + 2 = \arctan(2). ]

Функция ( \arctan(2) ) вычисляет угол, тангенс которого равен 2. Значение ( \arctan(2) ) не выражается в виде простого числа, но его можно найти приближённо. Например: [ \arctan(2) \approx 1.10714872 \, \text{(в радианах)}. ]

Таким образом, ( x + 2 ) принимает значение: [ x + 2 = \arctan(2) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}, ] где ( n ) — любое целое число.

4. Найдём ( x )

Теперь выразим ( x ). Для этого вычтем 2 из обеих сторон: [ x = \arctan(2) - 2 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Это и есть общее решение уравнения ( \tan(x + 2) = 2 ).

5. Ответ

Общее решение уравнения записывается в виде: [ x = \arctan(2) - 2 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Если нужно приближённое значение, используем ( \arctan(2) \approx 1.107 ): [ x \approx 1.107 - 2 + n\pi \approx -0.893 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

6. Подсказка для проверки

Если подставить любое значение ( n ) (например, ( n = 0, 1, -1 )) в общее решение, можно проверить, что ( \tan(x + 2) ) действительно равен 2. Это подтверждает, что решение верно.

Чтобы решить уравнение (\tan(x + 2) = 2), следуем следующим шагам:

1. Определим основное решение. Сначала нужно найти значение (x + 2), при котором (\tan(x + 2) = 2). Это можно сделать, используя арктангенс:

   [ x + 2 = \arctan(2) ]

   Значение (\arctan(2)) можно вычислить с помощью калькулятора. Приблизительно:

   [ \arctan(2) \approx 1.1071 \text{ радиан} ]

2. Общее решение. Поскольку функция тангенса периодична с периодом (\pi), общее решение можно записать, добавляя (k\pi) (где (k) — целое число) к нашему основному решению:

   [ x + 2 = \arctan(2) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

3. Решение для (x). Теперь, чтобы выразить (x), вычтем 2 из обеих сторон:

   [ x = \arctan(2) + k\pi - 2 ]

4. Запись окончательного решения. Теперь мы можем записать окончательное решение уравнения:

   [ x = \arctan(2) - 2 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

5. Численные значения. Если нужно найти конкретные значения для некоторых (k), то подставляя различные целые значения (k), вы сможете получить разные решения. Например:

   • Для (k = 0):

     [ x \approx 1.1071 - 2 \approx -0.8929 ]

   • Для (k = 1):

     [ x \approx 1.1071 - 2 + \pi \approx -0.8929 + 3.1416 \approx 2.2487 ]

   • Для (k = -1):

     [ x \approx 1.1071 - 2 - \pi \approx -0.8929 - 3.1416 \approx -4.0345 ]

Таким образом, общее решение уравнения (\tan(x + 2) = 2) записывается как:

[ x = \arctan(2) - 2 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

и может быть использовано для нахождения всех возможных значений (x).