Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрички. Какова вероятность того, что все они: а)...

а) Для того чтобы все три человека забрались в один вагон, нужно выбрать один вагон из 8 доступных. Вероятность этого равна 1/8.

б) Вероятность того, что все три человека зайдут в вагон №3, также равна 1/8.

в) Для того чтобы все три человека разместились в разных вагонах, первый человек может выбрать любой из 8 вагонов, второй - любой из оставшихся 7 вагонов, а третий - любой из оставшихся 6 вагонов. Таким образом, вероятность того, что они разместятся в разных вагонах, равна (8/8) (7/8) (6/8) = 7/28 = 1/4.

Для решения данной задачи применим комбинаторные методы. Используем принципы размещения и подсчета вероятностей.

а) Вероятность того, что все трое зайдут в один и тот же вагон

Чтобы все трое оказались в одном вагоне, мы должны сначала выбрать один вагон из восьми, а затем разместить всех троих пассажиров в этом вагоне. Выбор вагона можно сделать 8 способами (поскольку вагонов восемь). Поскольку вагон уже выбран, то все трое должны войти в него, и это событие имеет единственный способ осуществления. Общее количество возможных способов, при котором каждый из трех человек может зайти в любой из восьми вагонов, составляет (8^3), так как каждый человек независимо от других может выбрать любой из восьми вагонов.

Таким образом, вероятность того, что все трое окажутся в одном вагоне, равна: [ P(A) = \frac{8}{8^3} = \frac{8}{512} = \frac{1}{64} ]

б) Вероятность того, что все трое зайдут в вагон №3

Это частный случай предыдущего пункта, когда выбор уже сделан за нас (вагон №3). Так как конкретный вагон уже выбран, то нам не нужно учитывать выбор вагона, а только вероятность того, что все трое выберут этот вагон. Так как каждый человек выбирает вагон независимо, то вероятность того, что каждый выберет вагон №3, равна (\frac{1}{8}). Тогда вероятность того, что все трое выберут вагон №3, равна: [ P(B) = \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \frac{1}{512} ]

в) Вероятность того, что все трое разместятся в разных вагонах

Сначала выберем вагон для первого человека — 8 возможных способов. Для второго человека остаётся 7 вагонов, так как один уже занят первым человеком. Для третьего человека останется 6 вагонов, так как два уже заняты. Таким образом, количество способов, которыми они могут разместиться в разных вагонах, равно (8 \times 7 \times 6).

Таким образом, вероятность того, что все трое окажутся в разных вагонах, равна: [ P(C) = \frac{8 \times 7 \times 6}{8^3} = \frac{336}{512} = \frac{21}{32} ]

Эти расчеты позволяют нам понять, как различные условия размещения влияют на вероятность выбора определенных вагонов или комбинаций вагонов.